Probabilidade Condicional e o Teorema de Bayes

Seguindo a linha de obtenção da probabilidade quando temos mais de um evento, muitas vezes vamos querer saber a probabilidade de algo acontecer, dada alguma condição. Por exemplo, em uma escola podemos querer calcular a probabilidade do aluno ter nota vermelha, dado que é menino. Essa probabilidade pode ser diferente da probabilidade de se ter nota vermelha, dado que é uma menina. Para melhor visualização, considere a tabela abaixo com os alunos aprovados e reprovados nas primeiras provas de cada disciplina (tabela gerada com o randbetween() do excel):

alunos_notas

Se escolhermos aleatoriamente um aluno, qual a probabilidade dele estar aprovado em matemática dado que é um menino?

Temos um total de 13 meninos, sendo que 6 estão aprovados. Logo, a probabilidade é 6/13.

A mesma pergunta, aplicado ao caso de que tenha sido escolhida uma menina resultaria em 5/14.

Ou seja, precisamos fazer pequenos ajustes no que consideramos nosso espaço amostral.

Utilizando as notações adequadas, temos que dado dois eventos A e B, a probabilidade condicional de A dado B, denotada por P(A|B) é:

P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

Ou seja, no nosso exemplo, queremos P(aprovado | menino) e a resposta será a interseção dos dois eventos dividido pela probabilidade de ser menino.

A probabilidade de ser homem e estar aprovado em matemática é 6/27, temos 6 meninos aprovados em matemática de um total de 27 alunos.

Como temos 13 meninos em uma sala de 27 alunos, a probabilidade de ser menino é 13/27.

Logo, P(aprovado|menino) = 6/27 ÷ 13/27 = 6/13.

Isso é o que chamamos de probabilidade condicional.

Um teorema muito importante quando se fala de probabilidade condicional é o Teorema de Bayes. O que este teorema nos fornece é uma forma de relacionar as probabilidades condicionais ao seu inverso. Por exemplo, se você precisa saber a probabilidade de um evento A ocorrer dado que ocorreu um evento B, e você sabe a probabilidade de um evento B ocorrer dado que o evento A ocorreu, o teorema vai te levar a resposta. A fórmula principal do teorema é:

P(A|B) = P(A) x P(B|A) /  P(B)

BÔNUS: Agora, e se quisermos saber a probabilidade de sair coroa em um lançamento de moeda, dado que no lançamento anterior saiu cara?

Essa é uma pergunta que confunde muitas pessoas. Nem todos responderiam 1/2, que é a resposta correta.

Pense comigo, se você está lançando uma moeda, independente do que já aconteceu no passado, a chance de cair coroa é 50%. O fato de ter saído cara, ou coroa, em um primeiro lançamento não alterou nada na moeda que faça com que ela agora tenha um peso diferente e provavelmente vai sair cara (ou coroa). Se você quiser saber a probabilidade de ocorrer coroa nos dois lançamentos consecutivos, isso sim altera nosso resultado final, pois estamos avaliando os dois eventos simultaneamente. Parece besta para quem entende, mas muita gente comete este erro.

 

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