Teorema de Bayes na prática: interpretando falso positivo

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As pessoas, e eu me incluo nessa, fazem uma enorme confusão com probabilidades condicionais no cotidiano. Por exemplo, é considerada a mesma coisa a chance de um exame dar positivo se a pessoa não tem a doença e a chance de não se ter a doença se o exame dá positivo. Veja que não estamos falando da mesma coisa.

O livro “O andar do bêbado” de Leonard Mlodinow explica bem essa situação. O autor recebeu um exame de HIV com resultado positivo para a doença. Junto com o resultado, o médico lhe deu a notícia de que a chance de ele viver mais de uma década era de 1 em 1 mil.

Como o médico chegou nesse número?

Ele já sabia que o resultado do exame de HIV gera um resultado positivo com o sangue não infectado somente uma vez a cada mil amostras. Ou seja, Leonard tinha 1/1000 chance de não ter HIV. Certo?

Não. Novamente, havia 1/1000 de probabilidade de uma pessoa ter um exame positivo, sendo que ela não tinha a doença. Porém, isso não quer dizer que se o exame for positivo a chance de ela não ter a doença é 1/1000. Vamos verificar com números!

Tome uma população de 10 mil homens. Vamos considerar que o número de falsos negativos seja 0, ou seja, se o exame der negativo, a pessoa não tem HIV. Destes 10 mil, 1 possui HIV. Pelos dados do doutor, com uma simples regra de três, é fácil perceber que de 10 mil homens, com todos realizando o exame de HIV, temos 10 que terão exames com resultado positivo para a doença, mas que não estão infectados. Resumo: 1 homem com resultado positivo e com HIV, 10 com resultado positivo mas sem HIV e 9989 com exame negativo e sem HIV.

Voltando agora ao resultado de Leonard, se o exame foi positivo, ele está entre as 11 pessoas com resultado positivo. Porém, desses 11 somente 1 possui a doença. Logo, dado que o resultado foi positivo, a chance de Leonard ter a doença é de 1/11! E tudo isso graças a um pequeno erro de interpretação do teorema!

Para entender mais sobre o tema, leia o post Probabilidade Condicional e o Teorema de Bayes e o livro O andar do bêbado

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