Qual a probabilidade de tirar o número 1 jogando um dado duas vezes?

Uma das perguntas mais comuns para quem estuda probabilidade ou é fã de jogos de azar: qual a probabilidade de sair o número X, pelo menos uma vez, ao jogarmos um dado n vezes?

Por conta daquela regrinha do “e” e do “ou” quando aprendemos probabilidade, muitas pessoas fazem confusão (inclusive já mencionei no post do link essa confusão). Pensemos no título desse post: qual a probabilidade de tirarmos o número 1, em ao menos uma das jogadas, ao jogarmos um dado duas vezes?

É comum alguns estudantes responderem 2/6 (= 1/3), pois a probabilidade de tirar 1 na primeira jogada é 1/6 e a probabilidade de tirar 1 na segunda jogada também é 1/6. Então, como queremos obter o número 1 na primeira ou na segunda jogada, basta somar essas duas probabilidades. Veja que partindo dessa lógica, a probabilidade de tirarmos 1 ao jogarmos um dado 6 vezes é 1/6+1/6+…+1/6 = 1, ou seja, 100%! Ao jogarmos o dado 6 vezes com certeza obteremos o número 1 em ao menos uma das jogadas. Faz sentido?

Não, não faz. Podemos tirar {2,2,2,2,2,2}, {2,2,2,2,2,3}, {2,2,2,2,2,4}, etc.

Antes de mais nada, note que ao jogarmos o dado duas vezes, nosso espaço amostral se altera. Agora, não temos apenas 6 resultados possíveis e sim 36. Já é mais um indício de que algo diferente tem que ser feito. Essas coisas mais intuitivas são excelentes para evitar erros.

Indo ao que interessa, o que faz toda a diferença nesse tipo de problema é o fato de que os eventos não são mutuamente exclusivos. Ou seja, eles podem ocorrer ao mesmo tempo.

Olhe com atenção, se você quiser saber a probabilidade de, ao lançar um dado, obter o número 1 ou o número 4, você não tem a possibilidade de obter os dois, então, a resposta será: 1/6 + 1/6 = 2/6= 1/3!

Entretanto, se você quiser saber a probabilidade de ocorrer 1 ao lançar dois dados, deve se atentar ao fato de que os eventos não são mutuamente exclusivos, então você precisa subtrair a probabilidade de ocorrer 1 nos dois lançamentos, a fórmula a ser utilizada é:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Ou seja, a resolução do problema do título desse post é:

1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36

Outra forma de pensar, seria nos eventos complementares. A mesma resposta é obtida quando obtemos a probabilidade de não se tirar 1 em nenhum dos dois lançamentos e subtraímos de 1 (ou 100%):

1 – (5/6 * 5/6) = 1 – 25/36 = 11/36

Não confunda: Probabilidade de sair o número 1 nos dois lançamentos do dado é 1/36. A probabilidade de sair pelo menos um número 1 no lançamento de dois dados é 11/36.

Agora você está preparado para os jogos de azar com dados! #partiuVegas!

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21 comentários

      1. Fala Pedro! Não entendi, são quantos lançamentos? 4 lançamentos de um dado de 20 lados e que você precisa tirar os números 18, 19 e 20 ao menos uma vez? Nesse caso eu acho que seria mais interessante você calcular as formas que poderia cair 18, 19 e 20 e dividir pelo espaço amostral dos 3 lançamentos, se eu não errei a conta aqui, ficaria: 27/(20^3)

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    1. Olá!
      O enunciado completo é este mesmo? Porque se é esse mesmo, então é 100%. Você vai pegar dois recipientes, não tem como pegar dois recipientes vazios, pois temos somente um vazio. Logo, é certo de que ao menos 1 estará cheio.
      A não ser que ele esteja retirando com reposição. Isto é, ele retira um, repõe e depois retira outro. Neste caso, a chance dele pegar pelo menos um cheio, seria 1 menos a probabilidade dele não pegar nenhum cheio. A probabilidade de não pegar nenhum cheio na primeira é 1/3 e na segunda também. Então, seria 1-(1/3 * 1/3) = 0,8889. Ou, 88,89%
      Abs

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    1. Fala Lucas,
      Só para ter certeza, a questão quer saber a chance de obter pelo menos uma repetição?
      Se for assim, eu acho que o caminho mais fácil é ir pelo complementar disso, se a gente conseguir responder: qual a chance de não se repetir nenhum número, a nossa resposta é 1 menos essa chance.
      Então, qual a chance de não se obter nenhuma repetição em 6 lançamentos de um dado de 20 faces?
      É 20/20 * 19/20 * 18/20 * 17/20 * 16/20 * 15/20.
      Então a probabilidade de se obter pelo menos uma repetição é 1-(20*19*18*17*16*15)/20
      Veja se bate com a resposta e qualquer problema me avise.
      Abraços

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  1. Boa tarde Yukio, tudo certo? Eu tenho uma dúvida e acho que ainda não encontrei a resposta. O problema é o seguinte: Eu rolo um dado de 6 faces e, caso o resultado seja 6, rolo mais uma vez. Qual a chance de eu rolar esse 6 duas vezes consecutivas (e se puder explicar a fórmula também, agradeço). Essa questão está me confundindo bastante, por parecer muito uma pegadinha. Poderia me ajudar por favor? Abraços!

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  2. A fórmula geral, assumindo um dado com 6 lados e que eu quero apenas 1 número dentre os 6 possíveis, invertendo o objetivo (quero saber o número de tentativas pra atingir determinada probabilidade) torna-se:
    (N/¨6) – (1/6)^(N) > P

    Onde N é o número de tentativas e P é a probabilidade que eu quero ultrapassar.
    Resolvendo pra P = 0.9, se obtém 5.4… ou seja, preciso jogar 6 vezes pra ter 90% de chances de acertar num número desejado qualquer. Alguém saberia resolver isso em um limite? Digo, com P -> 1 (ou seja, tendendo a acertar o número com certeza)

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  3. Fiz as contas para, rolando um dado de 20 lados duas vezes, eu preciso ter um resultado igual a 8 ou maior pelo menos uma vez, fiz da seguinte forma:
    13/20+13/20-13*13/20*20
    0,65+0,65-0,4225
    1,3-0,4225
    0,8775.
    Está correto?

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    1. Fala, Guilherme!
      O jeito de você não ter o resultado que deseja é se os dois dados resultarem em números menores que 8. Pelas minhas contas, o resultado seria: 1-(7*7/20*20)=51/400=12.75. Qual foi seu raciocínio para chegar em 0,8775?
      Abs

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