Arranjo, Permutação e Combinação

Muita gente faz confusão na hora de calcular o número de possibilidades de organizar elementos em algum espaço. Três perguntas típicas de provas de estatística e que causam muita confusão são:

  1. Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra CASA?
  2. Em uma empresa há 10 funcionários aptos aos cargos de presidente e vice-presidente. De quantas maneiras distintas é possível preencher os dois cargos?
  3. Em uma sala de aula temos oito alunos e queremos escolher três para serem representantes de sala. Determine o número de maneiras que a escolha pode ser feita.

Afinal, qual técnica devo utilizar para a resolução de cada exercício? Arranjo, combinação ou a permutação?

A primeira questão é a mais simples. Lembre daquele esqueminha de desenhar os espaços em branco e marcar quantas possibilidades podem preencher o espaço. Neste exercício, temos quatro letras e queremos preencher quatro lacunas. De forma prática, significa que se na primeira posição utilizarmos uma das 4 letras, na segunda posição restarão 3 letras, na terceira restarão duas e na última posição apenas uma letra:

arranjo01

A fórmula acima é exatamente a da permutação. Caso o aluno se perca na hora de elaborar o esquema feito acima, deve se atentar então ao fato de que o número de elementos e de posições são iguais. Importante lembrar que a permutação, nada mais é do que o fatorial do número de elementos a serem dispostos:

permutacao_2

Agora, olhando para o segundo caso, também podemos desenhar o esqueminha de lacunas brancas e preenchê-las com o número de possibilidades. No esquema abaixo, é são colocadas as posições de vice-presidente (VP) e do presidente (P). Abaixo delas está o número de elementos que podem preenchê-las. Como temos 10 pessoas, a posição de VP pode ser preenchida de 10 maneiras diferentes. Como um dos participantes vai preencher a posição de VP, restam 9 maneiras de preencher a posição P:

arranjo0

Veja que agora o número de elementos é diferente do número de lacunas. Isso quer dizer que a multiplicação, diferente do exemplo anterior, não passará por todos elementos de um fatorial, ela termina justamente no 8, que é a diferença do número de indivíduos e número de lacunas (10-2). Logo, a primeira coisa que é notada nesse exercício é que o número de elementos/indivíduos é diferente do número de posições/lacunas a serem preenchidas. Além disso, note que a ordem importa – consideramos que a pessoa 1 ser VP e a pessoa 2 ser P é diferente da pessoa 1 ser P e a pessoa 2 ser VP. Esses dois motivos juntos servem de premissa para utilizarmos a fórmula do arranjo:

arranjo

Para finalizar, temos um exercício totalmente diferente, pois dessa vez o número de elementos e posições são diferentes e a ordem não importa. Afinal, veja que eu escolher como representantes os alunos 1, 2 e 3 é a mesma coisa que escolher os alunos 3, 2 e 1, ou então 1, 3 e 2. Nesse caso, utilizamos a combinação. O raciocínio não é tão complexo quanto parece, além de termos claras as outras situações, ainda podemos entender que aqui teremos que dividir a fórmula do arranjo pelo fatorial de p, pois precisamos eliminar as repetições que são causadas pelos elementos repetidos mas que estão em ordem diferente. Assim, temos:

combinacao

Para quem se perder na hora de montar as lacunas em branco e capturar os raciocínios destacados acima, é possível gravar os passos em destaque para cada fórmula:

  1. Número de elementos e de posições iguais. Permutação
  2. Número de objetos e de posições diferentes; ordem importa. Arranjo
  3. Número de objetos e de posições diferentes; ordem não importa. Combinação

Agora tente resolver alguns exercícios diferentes para colocar em prática o que aprendemos:

  1. De quantas maneiras o pódio – 1º, 2º e 3º lugar – pode ser formado em uma corrida com 14 pilotos?
  2. Um time de futebol é composto de 11 jogadores, sendo 1 goleiro, 4 zagueiros, 4 meio campistas e 2 atacantes. Considerando-se que o técnico dispõe de 3 goleiros, 8 zagueiros, 10 meio campistas e 6 atacantes, determine o número de maneiras possíveis que esse time pode ser formado.
  3. No sorteio da quina de 4 de outubro, foram sorteados os números 08, 13, 32, 52 e 54. De quantas maneiras distintas a sequência de resultados pode ter ocorrido?
  4. Qual a quantidade de anagramas que pode ser formada com as letras da palavra BRASIL?
  5. Temos três caixas e 13 livros. De quantas maneiras distintas podemos distribuir os livros entre as diferentes caixas?
  6. (ITA-SP) Quantos anagramas com 4 letras distintas podemos formar com as 10 primeiras letras do alfabeto e que contenham duas das letras a, b e c?

Clique aqui para as respostas.

Os exercícios 2 e 6 foram retirados de Exercícios Brasil Escola e Desconversa, respectivamente.

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2 comentários

  1. Ola! Bom dia! Como resolvo essa questao?

    Considere C o conjunto formado pelos anagramas da palavra CANTAGALO. Desse conjunto, a probabilidade de se
    escolher, ao acaso, um anagrama em que as cinco primeiras letras – “CANTA” – aparecem sempre juntas e nessa
    ordem é?

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