Probabilidade (I): Introdução e Conceitos Básicos

A probabilidade é o estudo da chance de ocorrência de um determinado evento. Quando jogamos um dado e perguntamos “qual a probabilidade de sair o número 3?”, queremos saber qual a chance de sair 3. Queremos saber o que é esperado deste evento, que é jogar um dado. A forma que temos de quantificar uma probabilidade é um número que vai de 0 até 1. Claro que, muito provavelmente, você prefira expressar a probabilidade em percentual, o que é a mesma coisa. Quando temos 100% de chance de que o evento ocorra, a probabilidade será 1, já quando temos 50%, a chance é 0,5.

Assim como o lançamento de dados, um exemplo simples para compreensão de probabilidade é o lançamento de uma moeda honesta. Ao lançarmos este tipo de moeda, também chamada de unbiased (~sem viés), sabemos que temos 0,5 de probabilidade de obter cara e 0,5 de obter coroa. Ou seja, 50% de chance de ocorrer cara e 50% de chance de ocorrer coroa.

Para iniciarmos o estudo de probabilidade, é preciso ter em mente dois termos que são constantemente utilizados e essenciais para o cálculo dela: espaço amostral e evento.

ESPAÇO AMOSTRAL

Representa todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Você pode pensar como sendo os resultados possíveis do seu ensaio, do experimento. Por exemplo, se você estiver lidando com o lançamento de uma moeda, os resultados possíveis são: cara ou coroa. Se você estiver lidando com o lançamento de um dado, os resultados possíveis são os números: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Veja se você consegue responder qual o espaço amostral para cada um dos dois ensaios a seguir:

  1. Lançamento de duas moedas.
  2. Lançamos um dado e uma moeda simultaneamente.

Conseguiu? Vejamos as respostas:

  1. Para o lançamento da primeira moeda, podemos ter como resultado cara ou coroa. Para o segundo lançamento, também podemos ter cara ou coroa. Logo, para obter o espaço amostral, precisamos listar todas as combinações que podem ser feitas com as possibilidades que temos. Ou seja, podemos ter primeiro cara e na sequência coroa. Ou então primeiro cara e na sequência outra cara. Ou então coroa e depois cara. Ou coroa e depois coroa. Denominando nosso espaço amostral de S, temos então queS = {(cara, cara); (cara, coroa);(coroa, cara);(coroa, coroa)}
  2. Análogo ao primeiro caso, mas dessa vez chamando nosso espaço amostral de S, temos:S = {(cara,1};(cara,2);(cara,3);(cara,4);(cara,5);(cara,6);(coroa,1);(coroa,2);(coroa,3);(coroa,4);(coroa,5);(coroa,6)}

Veja que isso é aplicável para outros experimentos. Se eu tiver uma caixa com 6 bolas de diferentes cores e meu experimento consiste em retirar uma delas, os resultados possíveis do experimento são as 6 diferentes cores possíveis de serem retiradas.

Outra notação bastante comum para o espaço amostral é a representação dele pela letra grega Ω. E é importante notar que o espaço amostral pode ser um conjunto tanto finito, quanto infinito.

Agora que já entendemos o conceito de espaço amostral, podemos avançar para eventos.

EVENTO

Um evento é qualquer subconjunto do espaço amostral. Pegue, por exemplo, um lançamento de dados. A ocorrência do número 1 é um evento. Da mesma forma, a ocorrência dos números 2, 3, 4, 5 ou 6 também são outros possíveis eventos. Já quando pensamos num baralho de 52 cartas e num experimento que consiste retirar uma ao acesso, a retirada de um rei é um evento e que inclui 4 elementos.

A notação de um evento é feita utilizando letras maiúsculas. Se o conjunto A consiste nos eventos em que o lançamento de dados é menor do que 5, então temos A={1,2,3,4}.

Um evento, pode ainda ser um conjunto vazio ou inteiro. No lançamento de dados, o evento em que temos números menores do que 1 é vazio. Já para números menores do que 10, é inteiro.

Os eventos ainda podem ser subdivididos em:

  1. EVENTO SIMPLES: Formado somente por um elemento. Por exemplo, A = {1} é um evento simples de um lançamento de um dado em que aparece o número 1.
  2. EVENTO CERTO: Quando lançamos um dado, é certo que o número da face voltada para cima será menor que 7. Este é um exemplo de um evento certo, um evento que ocorre sempre. Sendo A um evento certo e S o espaço amostral, temos A = S.
  3. EVENTO IMPOSSÍVEL: Um evento que nunca ocorre, i.e., um evento impossível de ocorrer. Seja A o evento em que a face do dado voltada para cima no lançamento é 10, temos então que A é um evento impossível. A notação fica A = { } ou A = ∅
  4. EVENTO UNIÃO: É o evento que contém todos os elementos dos conjuntos de outros dois eventos, por isso é também chamado de evento soma. Calma, não se espante nem se embole com as palavras, vamos ver na prática. Seja A o evento em que ocorre um número par no lançamento de um dado. Isto é, A = {2,4,6}. Seja B o evento em que ocorre o número 1 no lançamento de um dado. Ou seja, B = {1}. A∪B é a união do evento “ocorre um número par” com o evento “ocorre o número 1”. A união destes dois eventos é um conjunto que contempla todos os eventos possíveis para A e todos os eventos possíveis para B. Sendo assim, A∪B={1,2,4,6}.
    Note que podemos ligar evento união ao adjunto OU. Pois queremos que ocorra um evento A OU um outro evento B.
  5. EVENTO INTERSECÇÃO: Novamente, estamos considerando outros conjuntos de eventos, porém, desta vez não se trata de considerar todos os elementos dos outros eventos. Agora, falamos dos elementos que são comuns aos eventos considerados. O evento intersecção é o evento que considera a realização de ambos eventos de outros dois conjuntos A e B, mas estes eventos devem ocorrer simultaneamente. Seja A o evento em que ocorre um número par no lançamento de um dado. Temos que A = {2,4,6}. Seja B o evento em que ocorre um número múltiplo de 3 no lançamento de um dado. B = {3,6}. O evento intersecção A∩B é o evento cujos elementos façam parte tanto de A quanto de B. Portanto, A∩B = {6}. O evento intersecção também é chamado de evento produto.
    Note que podemos ligar evento intersecção ao adjunto E. Pois queremos que ocorra um evento A um outro evento B.
  6. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS: São eventos que não possuem elementos em comum, isto é, não podem ocorrer simultaneamente. Em outras palavras, ou vai acontecer um ou vai acontecer o outro. Seja A o evento em que ocorre um número par no lançamento de um dado. Seja B o evento em que ocorre um número ímpar no lançamento de um dado. A e B são mutuamente exclusivos. Como este exemplo é o mais fácil de visualizar, pensemos em mais um. Seja C o evento em que ocorre um número par no lançamento de um dado. Seja D o evento em que ocorre o número 3 no lançamento de um dado. C e D são mutuamente exclusivos. Se ocorrer o lançamento de um número par, não é possível que este número seja 3 e vice-versa. Note que, se A e B são mutuamente exclusivos, A∩B={ }.
  7. EVENTO COMPLEMENTAR: São eventos que se complementam, formando o espaço amostral. Seja A um evento, o seu complementar, denotado por Captura de Tela 2018-10-07 às 12.17.39, é um evento tal que Captura de Tela 2018-10-07 às 12.20.09. Isto é, a união do evento A com seu complementar resulta no espaço amostral. Seja A, o evento em que ocorre um número par no lançamento de um dado. Seu complementar, será o evento em que ocorre um número ímpar no lançamento. Pensando num outro exemplo, se A for o evento em que ocorrem os números 1, 2 e 3 no lançamento de um dado, seu complementar será o evento em que ocorrem os números 4, 5 e 6.

Agora que temos uma boa noção de espaço amostral e eventos, é hora de entender como fazer o cálculo da probabilidade de um evento ocorrer.

PROBABILIDADE DE UM EVENTO OCORRER

Agora que já sabemos o conceito de espaço amostral e evento, podemos partir para os primeiros cálculos de probabilidade. A fórmula da probabilidade é simples e até intuitiva para muitas pessoas. Sendo E um experimento e S um espaço amostral, para cada evento A, a probabilidade deste evento ocorrer é representada por P(A). O cálculo de P(A) é dado pela razão entre o número de casos (favoráveis) de A pelo número de casos possíveis:

Captura de Tela 2018-10-07 às 11.41.16

Alguns pontos importantes:

  • A probabilidade é um número maior ou igual a 0 e menor ou igual a 1. Em outras palavras, 0≤P(A)≤1;
  • S é não vazio;
  • Como o espaço amostral contempla todos os possíveis eventos, P(S) = 1;
  • Se A é um evento certo, P(A) = 1;
  • Se A é um evento impossível, P(A) = 0.
  • Para eventos mutuamente exclusivos, P(AUB) = P(A)+P(B)

Vejamos mais alguns exemplos:

  • Qual a probabilidade de termos um número maior do que 5 no lançamento de um dado?

    Casos favoráveis: 5
    Casos possíveis (eventos do espaço amostral): 1, 2, 3, 4, 5 ou 6
    P(5) = 5/6, ou P(5) = 83,33%

  • Lançamos um dado e uma moeda, qual a probabilidade de ocorrer cara e um número par?

    Para os casos favoráveis, podemos ter no lançamento do dado os números 2, 4 ou 6. Já no lançamento da moeda, queremos que ocorra cara (k).
    Então, listando todos os resultados buscados, temos: (k, 2), (k, 4), (k, 6).
    Sendo A o evento de obter um número par e B o evento de obter cara, temos:
    A∩B={(k,2),(k,4),(k=6)}. Logo, o número de casos favoráveis são 3.

    Precisamos agora contar quantos são os resultados possíveis. Podemos ter coroa (c) e cada um dos números no lançamento do dado, ou cara (k) e cada um dos números no lançamento do dado. Sendo S o conjunto de resultados possíveis, temos:
    S={(k, 1), (k, 2), (k, 3), (k, 4), (k, 5), (k, 6), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4), (c, 5), (c, 6)}.
    Ou seja, 12 possíveis resultados no lançamento de uma moeda e um dado.

    P(A∩B) = 3/12 ⇒ P(A∩B) = 1/4 ou P(A∩B) = 25%

  • No lançamento de um dado e uma moeda, qual a probabilidade de ocorrer cara ou um número par?

    Para os casos favoráveis, podemos ter no lançamento do dado os números 2, 4 ou 6. Já no lançamento da moeda, queremos que ocorra cara (k).
    Porém, veja que a ocorrência de somente um dos eventos já é favorável. Queremos que ocorra pelo menos um dos dois. Atente-se para a conjunção OU.
    Os seguintes resultados são os favoráveis: (k, 1), (k, 2), (k, 3), (k, 4), (k, 5), (k, 6), (c, 2), (c, 4), (c, 6).
    Sendo A o evento de obter um número par e B o evento de obter cara, temos:
    AUB={(k, 1), (k, 2), (k, 3), (k, 4), (k, 5), (k, 6), (c, 2), (c, 4), (c, 6)}.
    Logo, o número de casos favoráveis são 9.

    Os eventos possíveis são os mesmos 12 listados no exemplo acima.

    P(AUB) = 9/12 ⇒ P(AUB) = 3/4 ou P(AUB) = 75%

Em breve teremos uma lista de exercícios para que você teste seus conhecimentos.

Espero que tenha gostado, este é apenas o primeiro de alguns tutoriais em probabilidade que pretendo postar aqui. Como consome um pouco mais de tempo e tenho me ocupado com outras coisas, peço desculpas pela demora em evoluir com estes posts. De qualquer forma, em breve haverá um post com livros que eu considero essenciais para estatísticos e cientistas de dados. Você pode estudar através deles também.

Abraços e bons estudos!

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